数学学习方法的整理与想法
这是一个很大的话题，但我觉得我有必要写一些了。本人在超理论坛活跃了大概五六年了，这里也见证了本人很大一部分的数学学习历程，我想这是很合适作为我讨论这一话题的地方，我也希望有人能参与到我的讨论和提问之中。
关于本人的必要信息：目前在华东某末流211学数学，参加了24考研（即半个月前刚刚考完研），考的仍然是本校数学专业。
历史
这一部分基本可以略过，只是为过去本人为这些内容作的矫饰而作校正。在这一部分本人只会讨论学过的（纯）数学，而不会讨论其他方面/学科的内容。
本人学过的数学基本上只有本校数学方向专业课及其深入内容，鉴于本校水平如此，所以我学过的内容也并不多。值得一提的是本人的绩点很糟糕，总评基本都是不去的课七十多，去的课也就八十多，少有上九十的。我对此不是特别在乎，因为所有的课我基本只去了一半，其中只有屈指可数的课是我听了的，因此几乎所有的数学都是我自学的，也因此由于出勤、作业和往年题的因素，我的绩点不是很高，也因此不是很在乎。但我疑惑的是哪怕我认真学了并做了作业的科目为什么大家绩点都那么高，基本都是九十多，八十多算低的。我尝试过认真去学一门课，但最后也就九十出头，而还是有一些人比我高几分。
列表大致如下：
1. 数学分析（大一、大二上）
在高考前后学过Zorich第一卷（这也是本人选专业时倾向数学的原因）直到大一寒假学完，做了大约三分之一习题。由于数分学习的囫囵吞枣和对习题的不重视，微积分一只有74。至于数分二/微积分二，当年因为各种原因没看Zorich而用了微积分的书突击了，而且只看到第一二型曲线面积分，后面的含参积分和傅里叶分析内容都是在考研期间补的。我相信数学系的同学都学过数分三，但是我的微积分三的课和考试完全是摸鱼划水过的，内容其实是微积分到数分所差的内容，期末基本就是基础题到考研题的水平，很轻松。总之，我的数分功底很差，哪怕考研期间做了一些题，但做题水平也很菜。
最后，我在休学期间（即入学第三年）为了巩固基础去看了于品数学分析的一小部分（只到了连续函数的一致收敛和级数），但认真做了其习题（如论坛贴所示），这是我第一次认真处理大量数分习题。后来考研的时候先浏览了裴礼文，但只是大水漫灌，而且只到了导数和中值定理。又后来我去翻了一遍我们的微积分课本，因此可以说我在大四才接触了含参广义积分。最后我做了一些本校往年考研题，它们都不难，所以我的数分水平就这么混过去了。
我对这些的总结是，我的数分水平可以说很不尽人意，只有物理系微积分水平，只能处理一些简单的估计、计算和证明。值得一提的是我到现在还没有看完过一本数学分析教材，我想这也是一个原因。我看过一些985的数分期末试题，它们所需要的熟练度和水平我都需要数月乃至一两学期的功夫来准备。
2. 线性代数（大一）
在大学入学前我一直在学Kostrikin的代数学引论第一卷，而在入学后我发现老师所教和考的线性代数与之完全不是一回事，因此我线性代数考的都很烂。我先大致浏览了一遍丘维声的高等代数上，后来又去认真看和做了Done Right，但前者也只是囫囵吞枣，后者不是为应试所服务的。事实上，那时我对Jordan标准型的理解只有一些关于根子空间的几何上的理解，至于计算则是无从谈起。另外，那时我试图综合我学过的内容写一本线代讲义出来（因为我接触的线代体系很驳杂，而希望能综合之）。
休学期间，我认真看和做了Kostrikin的第一卷的剩余部分，后来我又去看了第二卷的线性代数部分，但我仍然没有学的很好。直到准备考研时我把谢惠民翻出来跟着网课看了一遍，才感觉自己对线性代数有了系统的认识，也是这时我才大致学会了Jordan标准型的λ矩阵相抵理论。事实上，我对剩下的正定之类的内容仍然有点一头雾水。最后我做了一些本校往年考研题，感觉它们并没有那么难，所以就水了过去。
我的总结是我其实在大四之前对线性代数一头雾水，直到最后才有了点样子。不太好说，在大四之前我想我只能做一些简单的题目，而在此之后我可以做一些中档题，但其实并没有很好。
3. 概率论与数理统计（大二上、大二下）
其实在学校这被分成了两门课来上，而且深度还是可以的。概率论用的是复旦大学李贤平的书，但基本就是普通概统中概率论部分的水平，因为它没有讲矩、母函数、熵和绝大部分大数定律。考试有点难度但本人当时学的还可以。后来看过一点Durrett的书，约等于没看。
数理统计用的是老师的讲义，我印象最深的是它讲了Cramer-Rao不等式的证明然后转头就将其放在期中最后一题上。我想它比普通概统中统计部分要深一些。我当时一学期好像就去了三四次，所以是自学的，感觉水平很一般（总评74）。
4. 常微分方程（大二上）
这门课很水，我一开始看的是丁同仁，但是看了一半没看下去，最后就几乎啥也没看就期末了。其实我学的很烂，对存在唯一性定理没有什么印象，也不会解应试中的那些微分方程组，更不会更深入的首次积分和动力系统乃至混沌理论。我的印象其实很模糊了，当时我去上课只有学期开始和临近期末，连老师发的往年题都做的一塌糊涂，只能说最后总评给我76是给我面子了。总而言之，无论如何这门课我都是要重学的，只不过是时间早晚问题罢了。
5. 抽象代数（大二下）
我不太好评价这门课。大一我看过Kostrikin的代数学引论第一卷中群环域的部分，在大二寒假的时候又去看了第三卷的第一章（大概就是最基础的群论内容），但后来正式学的教材是Hungerford的GTM73（只看了前三章，即一般本科抽象代数中群论部分），并参考了丘维声的近世代数中的一部分内容。最后上课教的内容大概就是1/2的群、1/3的环和1/6的域，但事实上无论是我学的还是老师教的都没有涉及到Sylow定理、理想和Galois理论这三个概念（最多了解过理想的定义）。后来在休学期间我认真又看了一遍上述提到的内容，并做了GTM73中相关的习题，但很快我便忘记了我到底学了什么。综上，很难说我的抽象代数学的很好，我只是学了一点皮毛罢了。
补充一点：老师认识我，因此每次我没去上课老师就开始点名，我如果到了老师就不点，乐。但其实我和老师关系还好，之前有一次在地铁上偶遇了他劝我学数学应当如何出路如何（比如他因为工作没时间去练车了）。
6. 复变函数（大二下）
这门课老师上的很水，我一开始学的也很水。老师用的是钟玉泉的复变函数论，但由于课时原因只上到留数而没有学共形映射和解析延拓，我自己用的是史济怀的复变函数，但只是囫囵吞枣的接受了新概念，而最后发现自己写不出来习题于是丧失信心去看课本并没有学更多的内容了。后来在休学期间认真看了一部分后者并做成了笔记，但只看到Mittag-Leffler定理，后面补充了一点关于$\zeta$函数和$\Gamma$函数的知识，但并没有什么用。更重要的是我习题做的很少，无论是上课还是后来重学，因此我很怀疑自己的水平。而另一方面，物理和工科的留数算的比我熟多了，我就没算过几次留数，这属实有点悲哀了。总而言之，虽然我认真补过复变的知识，但确实没有多么好，后来忘得更是干干净净，很难说我有什么水平。
7. 实变函数（大二下）
这是我学的最认真的两门课之一，老师用的是周民强的实变函数论，我很喜欢老师和书，老师也很喜欢我，所以这门课我学得很愉快。微分那一章我出于一些原因并没有学好，而$L^p$空间内容老师讲的少且快，所以这两部分当时我就没学多好。后来临近期末我又去翻了一下Stein的实分析，大三的时候又去看了一下Folland的开头，于是到现在就再也没碰过了。事实上我觉得当时学的还是可以的，但一方面老师只布置了思考题（而没有布置更难的习题），另一方面我学完就忘了，明明我反复看了两三次这些内容，所以我不好评价。我还记得期末之后老师评价我的试卷：题目有思路而运用$\varepsilon$语言不太熟练，所以我想起码我有一定的水平在。
这一门课并不只是教我Lebesgue测度和积分这么简单，它启发了我对分析学的兴趣，并且为我奠定了一定的估计功底和分析思路。好消息是学完这门课之后我再看其他的分析内容就觉得举重若轻，并没有什么困难，坏消息是实变中那些关键的内容我已经忘光了，比如我印象深刻的Luzin定理和Egorov定理在考完一段时间后就已经不记得它们到底是什么了。总而言之，我想我重学大概不难重捡起来，但我不好说我究竟能做到什么水平。
8. 泛函分析（大三上）
这是另一门我学的最认真的课。老师和我关系很好（我们经常一起吃饭，后来他成了我毕业论文导师），教材也很好。乐的是一开始的教材（许全华）在上了一半之后被普遍认为太难了，而老师被迫换了新的教材（孙炯），而我因为没去上课而不知道这件事。而最后临近期末的时候恰逢世界杯，老师说如果阿根廷赢了就划题（期末占比八成），输了就划范围，后来阿根廷赢了，因此这门课的绩点大家都是虚高。
许全华在某些内容上是不如张恭庆的，但后者我确实一点没看，也错过了很多泛函中的重要内容，但哪怕如此我也cover了老师上的内容。这门课是唯一我用LaTeX做作业并坚持下来的，并且我把许全华前几章的几乎所有题目都做了，但另一方面老师只能口头告诉我哪里错了，以至于有时候不来上课就长期逮不到我，乐。后来我把许全华看得只剩一章（谱理论）了，但老师告诉我换书了，于是Hahn-Banach定理及其后面的内容我基本不太会，以至于弱拓扑和弱*拓扑我基本一点不会了。
但总而言之，这门课和实变一样，我很快乐，水平和绩点都还不错（总评94），而且我觉得我学到了更多更深的东西了，这也锻炼了我在实变中学到的分析功底。但坏消息是我没有学好后面的内容，也没有去学更后面的（比如张恭庆上的Fredholm算子我碰都没碰，张恭庆下我更没学过了），所以说我只能说我掌握了基础的泛函知识。
9. 微分几何（大三上）
这门课本应该很好，可以加很多有意思的东西，可惜老师很烂，书也不太行（是陈维桓的微分几何讲义，1999年的，既不如科大的彭家贵，也不如陈维桓自己新版的微分几何），所以上的很痛苦。后来我自己把科大的那本看到了Gauss-Bonnet公式，感觉学到了一些东西（但没学通，而且没去看整体微分几何），然后又要去看老师要考的内容，更痛苦了。总而言之因为和老师的矛盾、出勤和作业难看以及期末复习用的不是课本，成绩不是很好（89），但我确实认真学了这门课。很难评价，因为我朋友拿了95，最高98，但我不好说差在了哪里。是一道有难度的定积分没算出来，还是对Gauss-Codazzi方程的运用不够好。但显然由于老师的教授范围，我不觉得其他人学到了更多的东西。
最后说说我的想法和总结。首先我觉得这门课上的并不好，而另一个老师加了do Carmo的黎曼几何中的很多习题和例子更让我向往。老师讲的内容有限，形式也不好（甚至经常拿陈年PPT充数），因此很难说真的能让人学到什么。最后，我也不觉得我学了多少微分几何知识，因为这门课和我学的内容都有点浅尝辄止了，很多能进一步深入的内容都没有展现出来。但另一方面，我通过这门课也发现我对几何确实没有什么兴趣，也许只是老师和教材的原因，但我仍然感觉我对这门课越学越觉得痛苦。可能只是我没有领悟到几何的魅力。
10. 拓扑学（大三下）
这门课的实际名称叫“点集拓扑学”，因此代拓那是一点没沾。我学点拓始于Zorich对开集的定义，后来自学了一些Munkres的拓扑学（我不记得时间点了），虽然学的很认真也做了一些题目，但只学了一部分（大概是前两章），因此对于分离公理和可数公理我都是考前速成的。相比之下，由于紧性在泛函中要用到，所以那方面其实还可以。这门课我也几乎没去听，因为跟老师关系好甚至有一次没去上课但那节课是随堂小测，老师专门在QQ发消息叫我过去。但总而言之，这门课我学得很烂，由于很多部分是速成的，因此我对其几乎完全没有印象，更别提点拓的习题以及更深的内容了。这门课最后拿了80，但期末卷面多少分实在值得商榷。最后，我没学过代数拓扑，更没学过同调论，综合我对几何的不感兴趣，感觉代数几何这条路已经给我堵死了，乐！
11. 偏微分方程（大三下）
这是整个本科阶段的最后一门重要数学课，我学的其实还可以/过得去，但由于出勤和作业（和弱智网课）最后只拿了85。这门课在我看来相比来说比较水，虽然大家都说难而且用的是科大的陈祖墀的偏微分方程，但由于老师重点只讲了三大方程（热传导、波动和位势）而没讲关于弱解、Sobolev空间和广义函数的内容（这是数学系的，所以没出现一些特殊函数），所以我不觉得其真的有多难。这门课我觉得我虽然把老师教的都学得七七八八了，但是更深更广的我是一点没学会，只能说是差强人意。之前我去旁听了研一拿Evans讲Sobolev空间的课，我觉得那才有些难度，也是我觉得所需要学的。如果我真的去学PDE那大抵是要拿Evans重学一遍上述内容的，但在此之前我觉得我的PDE水平只能说是很一般，数学和物理的深度都不够，以至于只能考察熟练度，而那又是数分的内容了。
12. 其他数学课
- 组合数学：这是唯一我觉得有价值且选了的选修课。这门课的授课范围就是生成函数、容斥原理、Polya计数原理和组合设计，并简单提了特殊计数序列（如两类Stirling数）和相异代表系（如Hall定理）。课本是北大冯荣权的组合数学。因为我校有另外的课讲图论所以这门课便没讲图论。因为这门课是选修课，哪怕内容很硬考得也（不得不）很水，基本就是生成函数的简单计算，以及其他内容中例题的背诵。很乐的是组合设计这一章我在精神卫生中心的等候区看得半死不活（因为我看不明白），但是最后考得很简单（考了一个Fano平面）。值得一提的是这课是数院院长上而且内容很硬但是院长在考前一堂课划了范围并且开卷，最后发现期末考卷和划的范围一模一样。 言归正传，这门课我学得很烂（从学习角度考虑），哪怕成绩很好（96）。从容斥开始一直到组合设计我基本都不理解，更谈不上运用和做题。很难说我看懂了什么，定义定理和命题我囫囵吞枣，证明我不加思索。这可能是因为我速通而没有深究（课本上越往前我的笔记越多，虽然现在已经不明白了），但组合设计确实看得我痛苦面具。
- 数学分析续论/高等代数续论：开给考研人的考研课，无需多言，期末是交小论文。
- 微分流形：这门课选了但被取消了，因为全班只有我一个人选，乐。听说本应用Loring Tu，还是很水。
- 同调代数：我那年不开，乐。本应由我抽代老师开。
- 高等概率论：选过但我因为休学没去上，课本是GTM45，但上过课，评价为大家用的还是李贤平。
- 运筹学：手算单纯形法，痛苦面具。老师是商院院长，但只找其他老师或博士生代课。
- 环与模范畴：听说期中才讲一大半环论，评价为水。
- 现代偏微分方程选讲：同微分流形，选了但被取消了，原因是没人选。
Ref.